数学中的许多函数或函数族是非常重要的，这些函数具有他们特定的名称。有大量关于特殊函数的理论是由统计学和数学物理发展而来的。

初等函数[编辑]

初等函数是由基本运算（例如，加减乘除，指数，对数）构成的函数。

代数函数[编辑]

代数函数：能够表示为多项式方程的函数

多项式：能够表示为变量的加减和乘。

线性函数：图像为直线的函數，可分為兩類：

零次函数（常數函數）：零次多项式，图像为水平线。

一次函数：一次多项式，图像为斜直线。

二次函数：二元二次多项式，图像为圆锥曲线。

三次函数

四次函数

五次函数

有理函数：两个多项式函数的比。

开方

平方根

立方根

基本超越函数[编辑]

非代数函数即为超越函数。

指数函数

双曲函数：形式上相似于三角函数。

对数函数：指数函数的反函数；用于求解指数方程。

自然对数

常用对数

二进对数

非有理次幂的幂函数：

周期函数

三角函数：正弦、余弦、正切等；主要用于几何学和描述周期现象。参阅古德曼函数。

锯齿波

方波

三角波

特殊函数[编辑]

基本特殊函数[编辑]

指示函数：将

x

{\displaystyle x}

映射为

1

{\displaystyle 1}

或

0

{\displaystyle 0}

，当

x

{\displaystyle x}

属于某个集合时映射为

1

{\displaystyle 1}

，否则为

0

{\displaystyle 0}

。

阶跃函数。

取整函数

单位阶跃函数：对于负数，返回

0

{\displaystyle 0}

；对于正数，返回

1

{\displaystyle 1}

。狄拉克δ函数的不定积分。

符号函数：返回数的符号，如

+

1

{\displaystyle +1}

、

−

1

{\displaystyle -1}

或

0

{\displaystyle 0}

。

绝对值函数：为某点到原点的距离。即

f

(

x

)

=

|

x

|

=

x

2

{\displaystyle f\left(x\right)=\left|x\right|={\sqrt {x^{2}}}}

。

数论函数[编辑]

除数函数

欧拉函数

素数计数函数

分割函数

基本函数的不定积分[编辑]

对数积分函数

指数积分函数

互补指数积分函数

三角积分函数

正弦积分函数

余弦积分函数

双曲正弦积分函数

双曲余弦积分函数

误差函数

菲涅耳积分

道森积分

Γ函数及相关函数[编辑]

Γ函数

双Γ函数，多Γ函数

不完全Γ函数

巴尼斯G函数

Β函数

不完全Β函数

K函数

多变量Γ函数（英语：Multivariate gamma function）

司徒頓t分布

椭圆函数及相关函数[编辑]

椭圆积分

勒让德形式（英语：Legendre form）

Carlson形式（英语：Carlson symmetric form）

椭圆函数

雅可比椭圆函数

魏尔斯特拉斯椭圆函数

Θ函数

拉马努金Θ函数

模形式与之密切相关，包括

j不变量（英语：j-invariant）

戴德金η函数

贝塞尔函数及相关函数[编辑]

贝塞尔函数

Bessel-Clifford函數（英语：Bessel-Clifford function）

艾里函数

斯科惹函数

Sinc函数

勒让德多项式

埃尔米特多项式

切比雪夫多项式

黎曼ζ函数及相关函数[编辑]

黎曼ζ函数

狄利克雷η函数

狄利克雷L函数

赫尔维茨ζ函数

勒让德χ函数（英语：Legendre chi function）

勒奇超越函数

多重对数函数及相关函数

不完全多重对数函数（英语：Incomplete polylogarithm）

克劳森函数

完全费米—狄拉克积分

不完全费米—狄拉克积分（英语：Incomplete_Fermi–Dirac integral）

库末函数（英语：Kummer%27s function）

斯盆司函数

Riesz函數（英语：Riesz function）

超几何函数及相关函数[编辑]

合流超几何函数

超几何函数

广义超几何函数

阿佩尔超几何函数

嫪丽切拉函数

Kampé de Fériet函数

连带勒让德多项式

Meijer G-函数

迭代指数函数及相关函数[编辑]

超运算

迭代对数

朗伯W函数

其它标准特殊函数[编辑]

狄利克雷λ函数

刘维尔函数

冯·曼戈尔特函数

拉梅函数

马丢函数

模λ函数

米塔-列夫勒函数

潘勒韦超越函数（英语：Painlevé transcendents）

抛物柱面函数

同步函数（英语：Synchrotron function）

算术-几何平均数

其它函数[编辑]

阿克曼函数

狄拉克δ函数

狄利克雷函数

克罗内克函数

闵可夫斯基问号（英语：Minkowski's question mark function）

魏尔斯特拉斯函数

外部链接[编辑]

Special functions : A programmable special functions calculator.

Special functions（页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations.